球体积公式推导

柱体体积

柱体的体积为底面积乘高，记作

$$V=Sh$$

锥体体积

锥体的体积为同底等高的柱体体积的$\frac{1}{3}$。

特殊情况：三棱锥。对于三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$，我们可以将其分成三个三棱锥：$A_1-ABC$、$B-A_1B_1C_1$和$A_1-BCC_1$。这三个棱锥的体积是相等的。

对于任意一个不规则底面的锥体，建立在平行面投影的相似理论基础上，我们可以证明它的体积公式。设锥体的底面积为$S$，底面所在平面为$\alpha$，顶点为$P$，高为$h$。

引理 1：用平行于$\alpha$的平面$\beta$切割锥体的中间部分得到的切面积为$S_2$。那么锥体顶点$P$到$\alpha$与到$\beta$的距离比的平方等于$\frac{S}{S_2}$。

理解性证明：对于底面是三角形的情况，是容易证明相似的，不再赘述。而一个不规则的底面可以被分成无数个三角形来拟合，这样就证明了。

于是定义一个函数$f(x),x\in[0,1]$表示用平行于$\alpha$，且与$P$的距离是$xh$的平面$\beta$，切割锥体的中间部分的切面积。显然

$$f(x)=Sx^2$$

那么锥体的体积为

$$\begin{aligned} V&=h\int_{0}^1f(x)\text{d}x\\ &=Sh\int_{0}^1x^2\text{d}x\\ &=\frac{1}{3}Sh \end{aligned}$$

不使用积分，使用幂级数来求极限也是可以推导出来的。

球体体积

要求一个球体的体积，不妨求一个半球体的体积。对于一个半球体，设其半径为$R$。设其底面所在平面为$\alpha$，半球体的高等于半径。

类似地，定义函数$f(x),x\in[0,R]$表示用平行于$\alpha$的距离$\alpha$为$x$的平面去切割球体得到的切面积。那么

$$f(x)=\pi(R^2-x^2)$$

那么半球体的体积就为

$$\begin{aligned} V&=\int_0^Rf(x)\text{d}x\\ &=\pi\int_0^R(R^2-x^2)\text{d}x\\ &=\pi\left.\left(R^2x-\frac{1}{3}x^3\right)\right|_{0}^R\\ &=\frac{2}{3}\pi R^3 \end{aligned}$$

怎么去理解这个积分？其实可以把$\int f(x)$理解为是一个柱体的体积减掉一个锥体的体积。

那么球体的体积就是$\frac{4}{3}\pi R^3$。

球体的表面积

同样可以用积分推导：

$$S=R\int_{0}^\pi2\pi R\sin\theta\text{d}\theta=4\pi R^2$$